量子物理与量子力学 — 期末复习资料
大物3从头梳理：黑体辐射到双态系统，含350+例题
课程总览
第一章：量子物理基础
黑体辐射 → 光电效应 → 康普顿效应 → 玻尔理论 → 物质波 → 统计解释 → 不确定关系 → 薛定谔方程 → 态叠加原理
第二章：量子力学
波函数与薛定谔方程 → 力学量算符 → 势阱中粒子 → 表象理论 → 势垒隧穿 → 谐振子 → 氢原子 → 微扰
第三章：双态量子系统
薛定谔方程矩阵形式 → 双态模型 → 氢分子离子 → 氨分子
量子力学发展时间线
第一章 量子物理基础
📝 1.1 黑体辐射与普朗克公式
核心问题
如何解释黑体辐射的实验曲线？经典物理的瑞利-金斯公式在短波区发散（"紫外灾难"），而维恩公式仅在高频区成立。
关键概念
三个经典公式
| 公式 | 表达式 | 适用范围 |
|---|---|---|
| 斯特藩-玻尔兹曼定律 | $M(T) = \sigma T^4$, $\sigma = 5.67\times 10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2 \cdot K^4)}$ | 实验规律，普遍成立 |
| 维恩位移定律 | $\lambda_m T = b$, $b = 2.898\times 10^{-3}\ \mathrm{m \cdot K}$ | 实验规律，普遍成立 |
| 维恩公式（高频） | $M_\lambda = C_1 \lambda^{-5} e^{-C_2/(\lambda T)}$ | 仅高频区成立 |
| 瑞利-金斯公式（低频） | $M_\lambda = \dfrac{2\pi c k T}{\lambda^4}$ | 仅低频区成立，高频发散（紫外灾难） |
普朗克量子假说 (1900)
谐振子能量只能取某个基本单元的整数倍：$\varepsilon = h\nu$
谐振子吸收或发射的能量只能是 $h\nu$ 的整数倍：$\Delta E = nh\nu$
$h = 6.62607015 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$（普朗克常数）
普朗克公式的极限推导
高频极限 ($hc \gg \lambda kT$)： $e^{hc/(\lambda kT)} \gg 1$，退化 → 维恩公式
低频极限 ($hc \ll \lambda kT$)： $e^{hc/(\lambda kT)} - 1 \approx hc/(\lambda kT)$，退化 → 瑞利-金斯公式
由普朗克公式可导出斯特藩定律和维恩位移定律。
📝 1.2 光电效应
定义
光照射在金属及其化合物表面时，有电子从表面逸出的现象。
实验规律（四个要点）
| 规律 | 内容 | 经典波动理论能否解释？ |
|---|---|---|
| 1. 饱和光电流 | 饱和光电流 $I_m$ 与入射光强 $I$ 成正比 | 能 |
| 2. 截止电压 | 遏止电压 $|U_a|$ 与入射光频率 $\nu$ 呈线性关系，与光强无关 | 不能 |
| 3. 截止频率 | 存在红限频率 $\nu_0$，低于此频率的光无论多强都不能产生光电效应 | 不能 |
| 4. 瞬时性 | 光电子瞬时产生（$\lt 10^{-9}\ \mathrm{s}$） | 不能 |
爱因斯坦光量子假说 (1905)
一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子（光子）。
光子能量：$\varepsilon = h\nu$； 光子动量：$p = h/\lambda$
其中 $A$ 为逸出功（电子脱离金属所需最小能量），$\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2$ 为光电子最大动能。
红限频率
$\nu_0 = A/h$，当 $\nu \le \nu_0$ 时，无论光强多大，都不产生光电效应。
📝 1.3 康普顿效应
定义
X射线经过物质散射时，散射光中除原波长 $\lambda_0$ 外，还出现波长大于 $\lambda_0$ 的新散射波长 $\lambda$，且波长差 $\Delta\lambda$ 随散射角 $\theta$ 的增大而增大。
实验规律
- 散射光除原波长 $\lambda_0$ 外，还出现 $\lambda > \lambda_0$ 的新波长
- $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$ 随散射角 $\theta$ 的增大而增大
- 新波长谱线强度随 $\theta$ 增加而增加，原波长谱线强度降低
- $\Delta\lambda$ 与散射物质无关
康普顿波长： $\lambda_C = h/(m_0 c) = 0.002426\ \mathrm{nm}$
物理本质
入射光子与自由电子发生弹性碰撞。光子将部分能量和动量传递给电子，故散射光子能量降低、波长增大。
光电效应 vs 康普顿效应：光电效应中光子与束缚电子作用，光子被完全吸收；康普顿效应中光子与自由电子弹性散射。
📝 1.4 玻尔氢原子理论
经典原子模型的困难
卢瑟福核式模型（1911）：电子绕核转动如行星绕太阳。但根据经典电磁理论，做加速运动的电子将不断辐射电磁波而损失能量，最终坠入原子核。原子不稳定，与事实矛盾。
玻尔的三个基本假设 (1913)
1. 定态假说：电子在特定圆轨道上运动时不辐射电磁波，原子处于稳定状态（定态），具有确定能量。
2. 量子化条件：电子角动量 $L$ 必须是 $\hbar = h/(2\pi)$ 的整数倍。
3. 频率条件：原子从一个定态跃迁到另一个定态时，发射或吸收一个光子。
氢原子光谱线系
| 线系 | m | n | 光谱区域 |
|---|---|---|---|
| 莱曼系 (Lyman) | 1 | 2,3,4,... | 紫外 |
| 巴耳末系 (Balmer) | 2 | 3,4,5,... | 可见光 |
| 帕邢系 (Paschen) | 3 | 4,5,6,... | 红外 |
| 布拉开系 (Brackett) | 4 | 5,6,7,... | 红外 |
| 普丰德系 (Pfund) | 5 | 6,7,8,... | 红外 |
玻尔理论的局限性
只能计算氢原子（单电子体系）的谱线频率，无法计算谱线强度和宽度，对稍复杂的体系（如氦原子）不适用。本质上是半经典理论。
📝 1.5 德布罗意物质波
德布罗意假说 (1924)
自然界是对称的——光具有波粒二象性，实物粒子也应具有波粒二象性。
实验验证
戴维逊-革末实验 (1927)：电子在镍单晶上的衍射，证实了电子的波动性。
汤姆逊实验 (1927)：电子穿过多晶薄膜的衍射。
应用：电子显微镜 (1933)、扫描隧道显微镜 STM (1982, 1986年诺贝尔奖)。
计算示例：不同粒子的德布罗意波长
| 粒子 | 条件 | 德布罗意波长 | 意义 |
|---|---|---|---|
| 电子 | $v = 200\ \mathrm{m/s}$ | $\sim 3.6\ \mu\mathrm{m}$ | 与原子尺寸可比，量子效应显著 |
| 子弹 | $m = 0.01\ \mathrm{kg}$, $v = 200\ \mathrm{m/s}$ | $\sim 3.3 \times 10^{-34}\ \mathrm{m}$ | 远小于任何测量精度，可用经典力学 |
📝 1.6 波函数与统计解释
玻恩统计诠释（量子力学基本原理之一）
微观粒子的状态用波函数 $\Psi(\mathbf{r}, t)$（一般为复函数）完全描述。
$|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 dV$ 表示在时刻 $t$、空间点 $\mathbf{r}$ 附近体积元 $dV$ 内找到粒子的概率。
波函数本身不是可观测的物理量，$|\Psi|^2$ 是概率密度。
波函数应满足的标准条件
✓ 单值性 — 概率在每一点唯一确定
✓ 有限性 — 概率不能无穷大
✓ 连续性 — 波函数及其一阶导数连续（势能有限处）
📝 1.7 海森伯不确定关系
海森伯不确定关系 (1927)
反映微观粒子运动的基本规律，是物质粒子波粒二象性的反映。
物理意义
微观粒子的位置和动量不能同时被精确测定。位置越精确（$\Delta x$ 小），动量越不精确（$\Delta p$ 大），反之亦然。
宏观世界：$h$ 极小（$10^{-34}$ 量级），不确定关系的影响可忽略 → 经典力学适用。
微观世界：不能同时用确定的位置和动量描述粒子 → 轨道概念失效。
典型例题
电子以 $v = 200\ \mathrm{m/s}$ 运动，速率测量相对误差 $0.01\%$。求位置的最小不确定度。
电子：$\Delta x \approx 2.9 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$（与原子尺寸可比，轨道概念无意义）
子弹 ($m=0.01\ \mathrm{kg}$)：$\Delta x \approx 2.6 \times 10^{-30}\ \mathrm{m}$（完全可忽略，经典力学适用）
📝 1.8 薛定谔方程
薛定谔方程 (1926)
量子力学的基本动力学方程，描述波函数随时间演化的规律。
定态薛定谔方程的导出
当势能 $U(\mathbf{r})$ 与时间无关时（定态问题），波函数可分离变量：
$\Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) \cdot e^{-iEt/\hbar}$
代入含时薛定谔方程，即可得到定态薛定谔方程。
定态下，概率密度 $|\Psi|^2 = |\psi|^2$ 与时间无关。
算符化规则
能量算符：$\hat{E} = i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$
动量算符：$\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla$（一维：$\hat{p}_x = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$）
哈密顿算符：$\hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf{r})$
📝 1.9 态叠加原理
态叠加原理
若 $\Psi_1, \Psi_2, \ldots, \Psi_n$ 是体系可能的状态，则这些态的线性叠加：
也是体系的一个可能状态。体系部分地处于各个 $\Psi_i$ 态中。
关键理解
量子态叠加与经典波叠加本质不同：量子叠加意味着体系同时处于不同状态，测量时以概率 $|C_i|^2$ 坍缩到其中一个本征态。
波函数的相位不确定性：波函数有一个相位因子 $e^{i\alpha}$，即 $\Psi$ 与 $e^{i\alpha}\Psi$ 描述同一量子态（因为概率分布相同）。
第二章 量子力学
📝 2.1 波函数与薛定谔方程
量子力学基本假设 1：波函数假设
微观粒子的状态可以被一个波函数 $\Psi(\mathbf{r}, t)$ 完全描述，由此可得出体系的所有性质。
波函数必须满足：单值、有限、连续。
概率守恒与概率流密度
概率密度：$\rho(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \Psi^*\Psi$
概率流密度矢量：
概率守恒方程（连续性方程）：
📝 2.2-2.4 量子力学算符理论
量子力学基本假设 2：力学量用算符表示
每一个力学量对应一个线性厄米算符。测量力学量时，结果一定是该算符的本征值之一。
常用力学量算符对照表
| 力学量 | 算符 | 本征方程 |
|---|---|---|
| 坐标 | $\hat{x} = x$ | $\hat{x}\psi = x\psi$ |
| 动量 | $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ | $-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x} = p_x\psi$ |
| 动能 | $\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$ | $\hat{T}\psi = T\psi$ |
| 哈密顿量 | $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf{r})$ | $\hat{H}\psi = E\psi$（定态薛定谔方程） |
| 角动量（$z$分量） | $\hat{L}_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}$ | $\hat{L}_z\psi = m\hbar\psi$ |
| 角动量平方 | $\hat{L}^2 = -\hbar^2\bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\bigr]$ | $\hat{L}^2\psi = l(l+1)\hbar^2\psi$ |
量子力学基本假设 3：测量假设
力学量 $F$ 在态 $\Psi$ 中的期望值（平均值）：
测量结果为本征值的概率 $=$ 展开系数模方的归一化值。
厄米算符的性质
对易关系
量子力学基本假设 4：全同粒子假设
全同微观粒子不可区分。体系波函数对交换任意两个全同粒子：
玻色子（整数自旋）：波函数对称（如光子、$\alpha$粒子）
费米子（半整数自旋）：波函数反对称（如电子、质子、中子），满足泡利不相容原理
力学量完全集
一组两两对易的力学量算符，它们的共同本征函数系能完全确定体系的状态。例如氢原子中：$\{\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z\}$ 构成力学量完全集。
📝 2.5 势阱中的粒子
一维无限深方势阱
势能函数：$U(x) = 0\ (0 \lt x \lt a)$，$U(x) = \infty\ (x \le 0\ \text{或}\ x \ge a)$
关键结论
1. 能量是量子化的（分立谱），$n$ → 量子数
2. 存在零点能 $E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \neq 0$（微观粒子不可能静止）
3. 能级间距与 $a^2$ 成反比：$a$ 越大，能级越密 → 宏观极限下量子化消失
4. $n=1$（基态）波函数无节点，$n=2$ 有 1 个节点，…，$n$ 有 $n-1$ 个节点
5. 二维无限深势阱 → 分离变量法分解为两个独立一维势阱
📝 2.6 表象理论
表象的概念
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象（以 $x$ 为变量）并非唯一的描述方式。
常用表象
| 表象 | 波函数形式 | 力学量形式 |
|---|---|---|
| 坐标表象 | $\Psi(x, t)$ | $\hat{x} = x$, $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ |
| 动量表象 | $C(p, t)$ | $\hat{p} = p$, $\hat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}$ |
| 能量表象 | 列矢量 $(C_1, C_2, \ldots)$ | 矩阵表示 |
坐标-动量变换
$C(p, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int \Psi(x, t)\, e^{-ipx/\hbar}\ dx$（傅里叶变换）
$|C(p, t)|^2 dp$：测量动量在 $p \to p+dp$ 范围内的概率
📝 2.7 势垒隧穿效应
一维方势垒
粒子能量 $E \lt$ 势垒高度 $U_0$ 时，经典粒子无法穿越势垒。但量子力学中，粒子有一定概率穿过势垒——隧道效应。
应用
✓ 扫描隧道显微镜 (STM)
✓ $\alpha$ 衰变（$\alpha$粒子隧穿核势垒）
✓ 隧道二极管
✓ 场致电子发射
处理势垒问题的步骤
📝 2.8 光电效应（续）
本章涉及光电效应在量子力学框架下的深入讨论，包括扫描隧道显微镜(STM)的原理——利用量子隧穿效应：针尖与样品之间的隧穿电流对距离极其敏感，可达到原子级分辨率。1986年，宾尼(Binnig)、罗赫尔(Rohrer)和鲁斯卡(Ruska)因STM和电子显微镜获得诺贝尔物理学奖。
📝 2.9 一维谐振子
一维谐振子的薛定谔方程
势能：$U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$
关键结论
1. 能级均匀分布，间隔均为 $\hbar\omega$（与无限深势阱不同）
2. 存在零点能 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$（即使在绝对零度，谐振子仍有振动）
3. 零点能是不确定关系的必然结果（粒子完全静止将违反 $\Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar/2$）
4. 波函数：$\psi_n(x) = N_n H_n(\alpha x) e^{-\alpha^2 x^2/2}$（$H_n$ 为厄米多项式）
5. 利用升降算符（$\hat{a}$, $\hat{a}^\dagger$）可以优雅求解谐振子问题
📝 2.10 氢原子的量子力学处理
氢原子薛定谔方程的分离变量
在球坐标系中，波函数 $\psi(r, \theta, \varphi) = R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Phi(\varphi)$，得到三个独立方程。
氢原子的量子数
| 量子数 | 符号 | 取值范围 | 决定 |
|---|---|---|---|
| 主量子数 | $n$ | $1, 2, 3, \ldots$ | 能量 $E_n = -13.6/n^2\ \mathrm{eV}$ |
| 角量子数（轨道） | $l$ | $0, 1, \ldots, n-1$ | 角动量 $L = \sqrt{l(l+1)}\ \hbar$ |
| 磁量子数 | $m$ | $0, \pm 1, \ldots, \pm l$ | 角动量z分量 $L_z = m\hbar$ |
| 自旋量子数 | $s$ | $1/2$ | 自旋角动量 |
| 自旋磁量子数 | $m_s$ | $\pm 1/2$ | 自旋z分量 $S_z = m_s\hbar$ |
电子云分布：$l$ 对应的名称
| $l$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 符号 | s | p | d | f | g |
简并度
对给定 $n$，能量简并度为 $n^2$（不考虑自旋），考虑自旋后为 $2n^2$。
简并的原因：库仑势具有比一般中心力场更高的对称性（存在龙格-楞次矢量守恒量）。
📝 2.11 类氢原子及微扰理论
类氢原子
原子序数为 $Z$ 的类氢离子：$\mathrm{He}^+, \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ 等。
能级：$E_n = -13.6\ Z^2 / n^2\ \mathrm{eV}$（能量与 $Z^2$ 成正比）
定态微扰理论
当体系哈密顿量 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'$，其中 $\hat{H}'$ 为小量（微扰）时：
适用条件
需满足 $|\langle m|\hat{H}'|n\rangle| \ll |E_n^0 - E_m^0|$（微扰矩阵元远小于能级间距）。
对于简并态的微扰，需在简并子空间中先对角化微扰矩阵。
原子中电子的壳层结构
电子填充遵循 泡利不相容原理（每个量子态最多一个电子）和 能量最低原理。
壳层电子数：K($n=1$) → 2, L($n=2$) → 8, M($n=3$) → 18, N($n=4$) → 32
第三章 双态量子系统
📝 3.1 双态量子系统
基本思想
将体系波函数在一组正交归一完备基下展开，薛定谔方程化为矩阵方程。
基本假设与双态模型
基函数：构成正交归一的完备函数系 $\{|\varphi_1\rangle, |\varphi_2\rangle\}$
矩阵元：$H_{ij} = \langle\varphi_i|\hat{H}|\varphi_j\rangle$
叠加系数模方 $|c_i|^2$：测量粒子处于 $|\varphi_i\rangle$ 态的概率
典型应用
氢分子离子 $\mathrm{H}_2^+$：一个电子在两个质子之间隧穿，形成成键态（能量低）和反键态（能量高）。
氨分子 $\mathrm{NH}_3$：氮原子在氢三角平面两侧隧穿振荡，用于氨分子微波激射器（Maser）。
中性K介子系统：$K^0 \leftrightarrow \bar{K}^0$ 振荡，CP破坏的经典双态模型。
解题步骤
公式速查表
基本常数
| 普朗克常数 | $h = 6.62607015 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$ |
| 约化普朗克常数 | $\hbar = h/(2\pi) = 1.0545718 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$ |
| 玻尔半径 | $a_0 = 0.0529177\ \mathrm{nm}$ |
| 里德伯常数 | $R_H = 1.097373 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$ |
| 电子静止质量 | $m_e = 9.109384 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ |
| 电子电荷 | $e = 1.6021766 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ |
| 斯特藩常数 | $\sigma = 5.670367 \times 10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2 \cdot K^4)}$ |
| 维恩常数 | $b = 2.897772 \times 10^{-3}\ \mathrm{m \cdot K}$ |
| 氢原子基态能量 | $E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$ |
| 康普顿波长（电子） | $\lambda_C = h/(m_e c) = 0.002426\ \mathrm{nm}$ |
核心公式汇总
| 公式 | 名称 | 章节 |
|---|---|---|
| $E = h\nu$ | 光子能量（普朗克-爱因斯坦关系） | 1.1 |
| $M_\lambda = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1}$ | 普朗克黑体辐射公式 | 1.1 |
| $\frac{1}{2}mv^2 = h\nu - A$ | 爱因斯坦光电效应方程 | 1.2 |
| $\Delta\lambda = \frac{h}{m_0 c}(1-\cos\theta)$ | 康普顿散射公式 | 1.3 |
| $L = n\hbar$, $E_n = -13.6/n^2\ \mathrm{eV}$ | 玻尔氢原子理论 | 1.4 |
| $\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ | 广义巴耳末公式 | 1.4 |
| $\lambda = h/p = h/(mv)$ | 德布罗意波长 | 1.5 |
| $P = \int|\Psi|^2 dV$, $\int|\Psi|^2 dV = 1$ | 概率与归一化条件 | 1.6 |
| $\Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar/2$ | 海森伯不确定关系 | 1.7 |
| $i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi$ | 含时薛定谔方程 | 1.8 |
| $\hat{H}\psi = E\psi$ | 定态薛定谔方程 | 1.8 |
| $\hat{p} = -i\hbar\nabla$, $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U$ | 算符化规则 | 1.8 |
| $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ | 基本对易关系 | 2.2-2.4 |
| $E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ | 一维无限深势阱能量 | 2.5 |
| $E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$ | 一维谐振子能量 | 2.9 |
| $L = \sqrt{l(l+1)}\ \hbar$ | 轨道角动量 | 2.10 |
| $L_z = m\hbar$ | 角动量z分量 | 2.10 |
| $E_n = -13.6\ Z^2/n^2\ \mathrm{eV}$ | 类氢原子能级 | 2.11 |
| $i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = H|\psi\rangle$ | 双态系统薛定谔方程 | 3.1 |
SJTU 大物3 量子物理与量子力学 复习资料 · 整理自WXZ老师PPT
"If you are not confused by quantum physics then you haven't really understood it." — Niels Bohr
练习与例题
以下例题和习题整理自各章PPT，按章节分类。
1.1 黑体辐射 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：已知一个物体的单色辐出度为
2. 练习：太阳可以看成一个黑体，已知地球上垂直于太阳光方向单位面积单位时间内接收到的太阳辐射能为w（忽略大气对太阳辐射的吸收）,斯特藩-玻耳兹曼常数为，日地距离为L,太阳半径为R，太阳表面温度T=_____。
3. 练习：已知用频率表示的普朗克公式为
4. 计算用波长表示的单色辐出度 。
5. 练习：由普朗克公式导出维恩位移公式和斯特藩-玻耳兹曼公式。
6. 练习：已知普朗克公式
7. 已知 的解为x=4.965。
8. 练习：已知普朗克公式为
9. 练习:一个日地模型是真空中的两个黑体球。太阳表面温度是Ts，地球上大气和海洋有效传热把地球调节为一个表面温度均匀的球。地球和太阳的半径分别是Re，Rs，日-地距离d。不计地球内部热源，当地球达到平衡辐射时，地球表面的温度为___。
10. 练习：一直径L=10 cm ，焦距f=50cm的凸透镜将太阳的象聚焦在置于焦平面上的一个涂有黑色的粗糙金属片上，金属片的大小与太阳的象一样大。设太阳温度为Ts=5．9×103K，日-地距离d=1.5亿千米，太阳的半径Rs=7×108m,太阳与金属片均视为黑体，求金属片可达到的最高温度。
11. 练习：已知一个金属片有两个表面，单个表面积为S ，金属片和太阳可视为黑体，垂直太阳光晒足够长时间，太阳表面温度为T0,半径为R,日-地距离为d，忽略大气对太阳辐射的吸收，晒足够长时间后金属片的温度为_____。
12. 练习：已知一个金属片有两个表面，单个表面积为S ，金属片和太阳可视为黑体，垂直太阳光晒足够长时间，已知地球上垂直于太阳光方向单位面积单位时间内接收到的太阳辐射能为w（忽略大气对太阳辐射的吸收）,半径为R,日-地距离为d，忽略大气对太阳辐射的吸收，晒足够长时间后金属片的温度为_____。
13. 练习：已知一个金属片有两个表面，单个表面积为S ，金属片和太阳可视为黑体，垂直太阳光晒足够长时间，太阳最大单色辐出度的波长为m 。半径为R,日-地距离为d，忽略大气对太阳辐射的吸收，晒足够长时间后金属片的温度为_____。
14. 练习：一直径为D的激光器发射光强为I的氦氖激光束，垂直射向相距为L的固体表面，可视为圆孔的夫琅禾费衍射，其波长为λ。在固体表面上得到的光斑的直径D1有多大？估计光斑的温度。
15. 练习：使用Plank公式推导Wein公式（高频区）及Rayley-Jeans公式（低频区）。
16. 练习：已知Plank公式为
17. 证明Wein公式（高频区）的单色辐出度 的极值波长m与黑体温度T 之积为常数。
18. 证明Wein公式（高频区）对应的总辐出度正比于温度的四次方。
1.2 光电效应 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：已知可见光的波长范围是390nm-760nm，其光子的能量范围为_____。
2. 练习：已知X射线的波长范围是0.01nm-10nm，其光子的能量范围为_____。
3. 练习：测量单色光波长方法。设用波长为λ1 和λ2 的两种单色光（ λ2 未知 ），先后照射同一种金属均能产生光电效应。已知测得两次照射时的遏止电压分别为Ua1 和Ua2，则λ2 =______。
4. 练习：设用频率为ν1 和ν2 的两种单色光，先后照射同一种金属均能产生光电效应。已知测得两次照射时的遏止电压满足Ua1 =2Ua2 ，则金属的红限频率ν0=______。
5. 练习：某光电管阴极对于波长为λ1 的入射光，发射光电子的遏止电压为Ua1 。已知e,c，h。当遏止电压变为Ua2时，入射光的波长λ2=______。
6. 练习：在均匀磁场B 内放置一极薄的红限波长为λ0的金属片。今用以波长为λ （ λ< λ0 ）的单色光照射，逸出的电子(质量为m，电荷的绝对值为e)在垂直于磁场的平面内作圆周运动，其圆周半径为=____。
7. 练习：在均匀磁场B 内放置一极薄的红限波长为λ0的金属片。今用以波长λ未知的单色光照射，逸出的电子(质量为m，电荷的绝对值为e) 的速度与匀强磁场的夹角为，电子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动的半径为r。λ=______。
8. 练习：在均匀磁场B 内放置一极薄的红限波长为λ0的金属片。今用以波长λ未知的单色光照射，逸出的电子(质量为m，电荷的绝对值为e) 的速度与磁场的夹角为，电子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动,粒子在平行于磁场方向作匀速直线运动,螺距为H, λ=______。
9. 练习：在均匀磁场B 内放置一极薄的红限波长为λ0的金属片。今用以波长为λ （ λ< λ0 ）的单色光照射，逸出的电子(质量为m，电荷的绝对值为e) 的速度与磁场的夹角为，电子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动的周期T=______，半径=_____, 螺距=________。
10. 已知一个物体的单色辐出度M，物体单位表面在单位时间内发出的总光子数为_______,总光子质量为________。
11. 练习：使用普朗克公式，计算一个黑体的单位表面在单位时间内发出的总光子数为_______。
12. 练习：X射线的波长范围为0.01nm-10nm，能量范围为100eV-10MeV,使用普朗克公式，计算太阳表面温度下一个黑体的单位表面在单位时间内发出的X射线和γ射线总光子数为_______。
13. 练习：紫外线的波长范围为200nm-400nm，能量范围为3eV-130eV,使用普朗克公式，计算太阳表面温度下一个黑体的单位表面在单位时间内发出的紫外线总光子数为_______。
14. 练习：太阳可以看成一个黑体，已知地球上垂直于太阳光方向单位面积单位时间内接收到的太阳辐射能为w （忽略大气对太阳辐射的吸收）,斯特藩-玻耳兹曼常数为，日地距离为L,太阳半径为R，地球上垂直于太阳光方向单位面积单位时间内接收到的总光子数=_____。
15. 练习：太阳可以看成一个黑体，其最大单色辐出度的波长为m ，已知维恩常数为b,日地距离为L,太阳半径为R， 忽略大气对太阳辐射的吸收,地球上垂直于太阳光方向单位面积单位时间内接收到的总光子数=_____。
16. 【补充例】对金属钾,临界波长为558毫微米，求它的逸出功。若入射光波长为400毫微米，则遏止电压多大?
17. 【补充例】 一半径为1.0×10-3m的薄圆片，距光源1.0m 。 光源的功率为1W，发射波长589 nm的单色光 。假定光源向各个方向发射的能量是相同的，试计算在单位时间内落在薄圆片上的光子数 。
1.3 康普顿效应 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 已知方程数3个:1个矢量方程，1个标量方程
2. 练习：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 n倍，则散射光光子能量e 与反冲电子动能EK之比e/ EK=_________。
3. 练习：康普顿散射中，波长为λ0 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/2 角方向散射。已知康普顿波长为λc ，那么散射光的波长λ = ____ ， 频率的改变Δν= _____ ，电子反冲动能 =_____。
4. 练习：已知一个光子的波长为3λc 。 这里λc为康普顿波长 ，电子静止质量为m0 。光子的能量=_____，动质量=_____ 。
5. 练习：已知康普顿波长为λc ，电子静止质量为m0 。康普顿散射中，波长为λc 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/3 角方向散射。那么散射光子的质量= ___。
6. 练习：已知康普顿波长为λc ，电子静止质量为m0 。康普顿散射中，波长为λc 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/3 角方向散射。那么反冲电子的质量= ___。
7. 练习：已知康普顿波长为λc 。康普顿散射中，波长为λc 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/2 角方向散射。那么散射光的波长λ = ____，反冲电子的质量与其静止质量的比值= ___。
8. 练习：康普顿散射中，波长为λ0 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/2 角方向散射。已知康普顿波长为λc ，那么=_____。
9. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为λ0的光子碰撞后，它的最大能量为_____，此时 θ= _____ ，光子波长为 _____ 。
10. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为λc的光子碰撞后，它的最大能量为_____，此时θ= _____，光子波长为 _____ 。
11. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为λc的光子碰撞后，它的最大速度为_____。
12. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为λ0的光子碰撞后，它的最大反冲动量为_____，此时 θ= _____ 。
13. 练习：康普顿散射中，波长为λ0的X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。已知康普顿波长为λc ，那么电子反冲动能 =_____，电子反冲动量 =_____。
14. 练习：已知康普顿波长为λc 。康普顿散射中，波长为2λc的X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。那么反冲电子的质量与其静止质量的比值=_____。
15. 练习：康普顿散射中，X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。已知康普顿波长为λc ，反冲电子的质量为其静止质量的 倍。那么入射X射线的波长为λ0 =_____。
16. 练习：康普顿散射中，波长为λ0 的X射线与电子散射，反冲电子沿与光子入射方向成φ角方向散射。已知康普顿波长为λc ，电子静止质量为m0 。那么散射光的波长λ = ____ 。（列出方程）
17. 练习：康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向的夹角=_____时，散射光子的频率最小；当夹角= ______ 时，散射光子的频率与入射光子相同。
18. 练习：在康普顿散射实验中，入射光的波长λ0 ，反冲电子的速度为 v，已知电子的静止质量 m0,h,c。散射光的波长 l=____。
19. 练习：在康普顿散射中，若入射光子与散射光子的波长分别为λ 和λ′，则反冲电子获得的动能Ek =______。
20. 练习：光子能量为0.5MeV的X射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射。若反冲电子的动能为0.1MeV，则散射光波长的改变量与入射光波长λ0之比值∆λ/ λ0=____。
21. 【补充例】在康普顿效应的实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光子的能量ε与反冲电子的动能Ek之比等于多少?
1.4 玻尔氢原子理论 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：已知h,c，氢原子基态能为E1。赖曼系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
2. 练习：已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0。赖曼系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
3. 练习：已知h,c，Rydberg常数R 。巴尔末系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
4. 练习：已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0。 。巴尔末系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
5. 练习：氢原子从能级n =6，跃迁到能级n =3。已知h,c，氢原子基态能为E1。可能发射的谱线数目=______，波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______
6. 练习：氢原子从能级n =6，跃迁到能级n =3。已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0 。可能发射的谱线数目=______，波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______
7. 练习：氢原子从能级n =5，跃迁到能级n =2。已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0 。可能发射的谱线数目=______，波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______
8. 练习： 被激发到n＝3的状态的氢原子气体发出的谱线中, 有 条可见光谱线和 条非可见光谱线。
9. 练习：类氢原子（hydrogen-like atom）指的是一个原子电离后，只剩下一个原子核与一个电子，是只拥有一个电子的原子，例如，He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子，又称为“类氢离子”。已知原子核带电q=Ze，电子质量为me，电荷的绝对值为e。用玻尔理论计算其能级。
10. 练习：已知h,c，氢原子基态能为E1。类氢原子氦离子的赖曼系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
11. 练习：已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0。类氢原子氦离子的赖曼系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
12. 练习：（朗道能级）电子(质量为me，电荷的绝对值为e)在垂直于磁场均匀B的平面内作匀速圆周运动，已知h 。根据玻尔的理论，那末圆周运动的半径=______, 速度大小=_______,从n 能级跃迁到m能级时所发射的光子的频率=____。
13. 练习：(朗道能级)电子(质量为me，电荷的绝对值为e)在垂直于磁场均匀B的平面内作匀速圆周运动，假设玻尔的理论成立。电子吸收到能量，跃迁到能级n =4。可能发射的谱线数目=______，波长最大的谱线 =______，波长最小的谱线 =______。
14. 练习：已知h,c，氢原子基态能为E1。帕邢系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
15. 练习：已知h,c，已知 Rydberg常数R 。布喇开系波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____, =______。
16. 练习：氢原子吸收到能量，跃迁到能级n =5。已知 Rydberg常数R及h,c。可能发射的谱线数目=______，能级n =5的能量E5 =______，频率最大的谱线是_____, =______，频率最小的谱线是_____ , =______
17. 练习：氢原子吸收到能量，跃迁到能级n =5。已知氢原子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0。可能发射的谱线数目=______，能级n =5的能量E5 =______，频率最大的谱线是_____, =______，频率最小的谱线是_____ , =______
18. 练习：在氢原子光谱中，求谱系的波长最短和最长的光子能量，赖曼系：____和____ eV；巴耳末系：____ 和____ eV；布喇开系：____和____ eV 。
19. 【补充例】已知氢光谱的某一线系的极限波长为364.7nm．
20. 设基态氢原子吸收光后跃迁到m级，则
21. 【补充例】氢原子由定态n跃迁到定态m可发射一个光子，已知定态n的电离能为0.85ev，又知从基态使氢原子激发到定态m所需能量为10.2ev，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为多少ev ？
22. 【补充例】已知氢光谱的某一线系的极限波长为3647 ，其中有一谱线波长为6565 。试根据玻尔氢原子理论，求与该波长相应的始态与终态能级的能量。
1.5 物质波 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 【补充例】质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试求人的德布罗意波波长。
2. 【补充例】试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的电子的德布罗意波长。
3. 已知电子的德布罗意波长等于其康普顿波长 的一半，它的质量与其静止质量之比=______。
4. 计算在绝对温度为 T 时质量为m的粒子的平均德布罗意波长=_____。
5. 练习：在均匀磁场B 内电子(质量为m，电荷的绝对值为e) 的速度与磁场的夹角为，电子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动,半径为r, 粒子在平行于磁场方向作匀速直线运动, 电子德布罗意波长=______。
6. 练习：在均匀磁场B 内电子(质量为m，电荷的绝对值为e) 的速度与磁场的夹角为，电子在垂直于磁场方向作匀速圆周运动,粒子在平行于磁场方向作匀速直线运动,螺距为H,电子德布罗意波长=______。
7. 练习：金属产生光电效应的红限波长为λ0， 今以波长为λ(λ< λ0 )的单色光照射该金属，金属释放出的电子(质量为m)的德布罗意波长λd =_____。
8. 练习：用波长为λ的单色光照射某种金属时，逸出光电子(质量为m)的德布罗意波长为λd ，若改用波长为2 λ的单色光照射此种金属，则逸出光电子的德布罗意波长为=_____。
9. 练习：在康普顿效应实验中，以康普顿波长λc为单位，已知入射光波长为n0，散射光波长为n ，反冲电子的波长 λd =______。
10. 练习：在康普顿效应实验中，已知散射光波长是入射光波长的 n倍，反冲电子的能量远大于其静止能量，则散射光波长与反冲电子的波长之比λ/ λd =______。
11. 练习：已知康普顿波长为λc。康普顿散射中，波长为λc 的X射线经物体散射后沿与入射方向成/2 角方向散射。那么反冲电子的德布罗意波长波长=___。
12. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为λ0的光子碰撞后，它的最小波长为_____，此时 θ= _____ ，光子波长为 _____ 。
13. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中,已知入射光子波长为λ0, 反冲电子的动能远大于其静止能量，反冲电子的最小波长为_____，此时 θ= _____ ，光子波长为 _____ 。
14. 练习：康普顿散射中，波长为λ0的X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。已知康普顿波长为λc ，那么反冲电子的德布罗意波长λd =_____。
15. 练习：康普顿散射中，X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。已知康普顿波长为λc ，反冲电子德布罗意波长λd =2 λc 。那么入射X射线的波长为λ0 =_____。
16. 练习：已知康普顿波长为λc 。康普顿散射中，波长为3λc的X射线经物体散射后沿与入射方向相反方向散射。那么电子德布罗意波长λd =_____。
17. 练习：已知c,h,康普顿波长为λc 。康普顿散射中，一个静止电子（静止质量为m0 ）与一波长为3λc的光子碰撞后，它的最小德布罗意波长λd=_____，此时 θ= _____ 。
18. 【补充例】粒子被限制在长宽高分别为 的箱中运动，试由驻波条件求粒子能量的可能值。
19. 练习： 速度为v的电子射流入射一种晶体，电子质量为m，实验测得电子射流与晶面夹角为时,在反射方向上测得第一级干涉极大。该组晶面的间距d=_____
20. 练习：电子从静止开始经电势差为U的加速电场,然后入射一种晶体，电子质量为m，晶面的间距为d。在哪些反射方向上出现电流极大？
1.6 波函数统计解释 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：下列波函数中，粒子的动量各为多少？
2. 证明光波是概率波的实验
3. 证明物质波是概率波的实验
4. 练习：下列波函数是否是描述同一量子态的波函数？
5. 练习：已知归一化的波函数为
6. 练习：已知不为0的波函数
7. 练习：已知不为0的波函数为
8. 练习：已知波函数为
9. 练习：氢原子处在基态，波函数为
10. 求：(1)归一化的波函数 (2）原子核外的电荷密度
11. 练习：粒子处于状态
12. 练习：设描述微观粒子运动的波函数为 ，则 表示 ； 须满足的条件是 ；其归一化条件是 。
13. 如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0处找到粒子的概率最大。
14. 练习： 设一维运动的粒子处在
1.7 不确定关系 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：如图所示，速度为v的一束电子，然后通过缝宽为a的狭缝，电子质量为m，在距离狭缝为L处放置一荧光屏，屏上衍射图样的中央明纹的宽度=____。
2. 练习：如图所示，一束电子从静止开始经电势差为U的加速电场，然后通过缝宽为a的狭缝，电子质量为m，在距离狭缝为L处放置一荧光屏，屏上衍射图样的中央明纹的宽度=____。
3. 练习：电子单缝衍射，已知 L，a，电子的速度为v,质量为m。中央明条纹的角宽度=____，线宽度=_____;其他明条纹的角宽度=____，线宽度=_____ 。
4. 练习：电子波的双缝干涉实验示意图， S为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子， F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板 ， S1 、 S2 分别为上、下方电子束的虚电子源，SS1 =SS2=d/2，底板A离源S的距离为L ，设L>>d，电子的速度为v,质量为m，相邻暗条纹的间距为_____。
5. 练习：如图所示，一束电子从静止开始经电势差为U的加速电场，然后等距离射向两个相距为d的狭缝，电子质量为m，在距离狭缝为L处放置一荧光屏，屏上相邻明条纹的间距为_____。
6. 练习：电子显微镜可以看成电子的圆孔衍射，已知圆孔直径 D,电子的速度为v,质量为m,电子显微镜的最小分辨角为_____，分辨本领为_____ 。
7. 练习：电子显微镜可以看成电子的圆孔衍射，已知圆孔直径 D,电子从静止开始经电势差为U的加速电场入射,质量为m。电子显微镜的最小分辨角为_____，分辨本领为_____ 。
8. 练习：光子的波长为,如果此波长的精确度为。该光子位置的不确定量=______,相干长度=______
9. 练习：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？
10. 练习：使用不确定关系估算一维箱子中的粒子的基态能。
11. 【补充例】电子在原子大小范围( x=10-10米)内运动，试求电子所能有的最小能量。
12. 【补充例】光子的波长为6328Å,如果此波长的精确度为10-9nm。求该光子位置的不确定量。
13. 【补充例】 估算一些物理量的量级
14. 设光子沿x轴方向运动
15. 练习1：某原子的第一激发态的能级宽度为 E，原子处于第一激发态的寿命t=_____。
16. 练习2：某原子处于一激发态的寿命为t, 该原子从该激发态发出的谱线的自然宽度为 ν =_____。
17. 练习3：某原子处于一激发态的寿命为t, 该原子从该激发态发出的谱线的波长为λ ，该谱线的宽度为 λ=_____。
18. 【补充例】氢原子从第四激发态跃迁到第一激发态时所发射光子的波长为 ，若测定此波长的精确度/=10-5，确定光子位置的不确定度x。
19. 【补充例】某原子的第一激发态的能级宽度为 E=6 10-8电子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命t。
20. 【补充例】氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，速度的不确定度：
21. 【补充例】若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度 Dx 。
1.8 薛定谔方程 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习： 在外力场中有一个粒子，质量为m，势能为U(x,y,z)。薛定谔方程为 =_____, 波函数的复共轭满足的薛定谔方程为 =_____。
2. 练习： 一个箱子中有一个电子，电子质量为m，没有外力存在。箱子中薛定谔方程为 =_____。
3. 练习： 重力场中有一个粒子，质量为m。薛定谔方程为 =_____。
4. 练习： 氢原子核外只有一个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为e 。薛定谔方程为 =_____。
5. 练习： 类 氢原子核外只有一个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为Ze 。薛定谔方程为 =_____。
6. 练习： 氦原子核外有两个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为2e 。薛定谔方程为 =_____。
7. 练习： 有一个粒子，质量为m，做谐振动，频率为ω 。薛定谔方程为 =_____。
8. 练习：验证以下波函数是自由粒子薛定谔方程的解（A，k为常数）
9. 练习：下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？
10. 练习：一个带电q>0的粒子放在电场中，电场强度为
11. 练习：一个粒子在如下势场中运动
12. 练习： 重力场中有一个粒子，质量为m。定态薛定谔方程为 =_____。
13. 练习： 有一个粒子，质量为m，做谐振动，频率为ω 。定态薛定谔方程为 =_____。
14. 练习： 一个箱子中有一个电子，电子质量为m，没有外力存在。箱子中定态薛定谔方程为 =_____。
15. 练习： 氢原子核外只有一个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为e 。定态薛定谔方程为 =_____。
16. 练习： 类 氢原子核外只有一个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为Ze 。定态薛定谔方程为 =_____。
17. 练习： 氦原子核外有两个电子，质量为m，电荷为-e，原子核静止不动，电荷为2e 。定态薛定谔方程为 =_____。
18. 练习：一维运动粒子的定态薛定谔方程的能量为E, 波函数为
1.9 态叠加原理 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：设不为0的两个波函数
2. 练习：已知不为0的波函数为
2.1 波函数与薛定谔方程 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 作业2：设粒子的状态为
2. 作业1： 算符是否是厄米算符？说明理由。
3. 作业4：已知一维无限深方势阱的不为零的波函数
4. 作业6：一维无限深方势阱宽度为L，粒子质量为m,，粒子从能级n =5跃迁到能级n =2。计算可能发射的谱线数目，波长最大的谱线的波长，波长最小的谱线的波长。
5. 作业7：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻系统处于量子态ψ（0），（1）计算能量本征值和本征矢（2）计算任意时刻t的波函数ψ（t） （3）当时刻t测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
6. 作业8：设宽度为a的一维无限深势阱中运动粒子的t=0时波函数为
7. 求解定态问题的步骤
8. 设不同能级的波函数Φm和Φn，则有
9. 练习：一维无限深势阱（ ）中的粒子处于状态
10. 练习：一维无限深势阱（ ）中的粒子的能量本征波函数为
11. 练习：已知长度为1米的一维无限深方势阱中的波函数为
12. 练习：已知一维无限深方势阱中的波函数为
13. 练习：已知一维无限深方势阱，把原点取在右壁，薛定谔方程为______,边界条件为______,归一化波函数=_____。
14. 练习：已知一维无限深方势阱，波函数如图所示，把原点取在左壁，薛定谔方程为______, 归一化波函数=_____，能级=_____ 。
15. 练习：已知一维无限深方势阱，概率密度如图所示，把原点取在左壁，薛定谔方程为______, 归一化波函数=_____，能级=_____ 。
16. 练习：已知一维无限深方势阱，未归一化波函数为
17. 练习：一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为 ,其中c为待定常量。概率密度最大位置x=____,最大概率密度为=____, 在 区间发现该粒子的概率为_____。
18. 练习：一维无限深方势阱中的粒子吸收到能量，跃迁到能级n =5。已知粒子从能级n =2跃迁到能级n =1发射的谱线波长为 0。可能发射的谱线数目=______，能级n =5的能量E5 =______，波长最大的谱线是_____, =______，波长最小的谱线是_____ , =______
19. 【补充例】 设粒子在一维无限深方势阱中运动,能量的量子数为n,试求:(1)距势阱内壁四分之一宽度以内发现粒子的概率;(2)n为何值时在上述区域内找到粒子的概率最大;(3)当n时该概率的极值,并说明这一结果的物理意义。
20. 求：粒子处于基态，在0--（1/4)a区间找到该粒子的概率是多少？
2.2 量子力学算符（1） — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习1：下列波函数中，粒子的动量各为多少？
2. 练习2：下列波函数中，哪些与 描写同一状态？
3. 练习3：下列波函数中，哪些与 描写同一状态？
4. 练习1：下列两个波函数 与 是否描写同一状态？
5. 练习2：下列两个波函数 与 是否描写同一状态？
6. 练习1：证明实函数f(x,y,z)是厄米算符。
7. 练习2：证明复变函数f(x,y,z)不是厄米算符。
8. 练习3：证明动量算符是厄米算符。
9. 练习4：证明动能算符是厄米算符。
10. 练习5：证明：如果 和 是厄米算符，那么 也是厄米算符。
11. 练习6：证明：如果 和 是厄米算符，那么 也是厄米算符。
12. 练习7： 算符是否是厄米算符？
13. 练习8： 算符是否是厄米算符？
14. 练习9：指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
15. 练习：已知波函数为实的，且为束缚态，即满足
16. 证明动量的平均值为0。
17. 练习：已知束缚态波函数满足
18. 证明动能的平均值为
19. 练习： 设一维运动的粒子处在
20. 练习：一维运动的粒子
21. 计算动量和动能的平均值。
22. 练习：粒子处于状态
23. 练习：已知不为0的波函数
24. 练习：下列函数哪些是算符 的本征函数，如果是，其本征值是什么？
25. 练习：确定算符 的本征函数。
26. 练习：已知一维无限深势阱的正交归一的波函数完全集为
27. 已知一维无限深势阱的的另一波函数为
28. 已知一维无限深势阱的另一波函数为
29. 练习：设粒子的状态为
30. 练习：一维运动粒子的本征波函数为
31. 练习：一粒子处在量子态
32. 练习：一维无限深势阱（ ）中的粒子的能量本征波函数为
33. 求解定态问题的步骤
34. 练习:证明波函数是一维定态薛定谔方程的解，并计算能量本征值。
35. 证明一般波函数为含时间的薛定谔方程的解。
36. 练习：设t=0时粒子的状态为
37. 练习： 算符是否是厄米算符？
38. 练习：已知 算符是厄米算符，常数 a=_____。
39. 练习：已知 算符是厄米算符，这里f(x)为已知实函数,g(x)未知。函数g(x)=_____。
40. 练习：已知 算符是厄米算符。算符 =_____。
41. 练习：已知一个电子在均匀磁场中的哈密顿算符为
42. 练习： 重力场中有一个粒子，质量为m。哈密顿算符为_______ ，4个算符 ， ， ， 中，相互对易的算符有_______，不对易的算符有_____。
43. 例：沿x方向运动的自由粒子的波函数
44. 练习： 重力场中有一个粒子，质量为m。定态薛定谔方程为 =_____。力学量完全集为_______。波函数可以写成_______。
45. 练习：已知一个粒子在x方向做简谐振动，在y和z方向做自由运动，动量分量分别为 和 。哈密顿算符为
46. 练习7：已知 证明
47. 练习：若粒子处于状态
48. 求（1）在 上分别测量 和 的可能取值与相应的取值概率；
49. 练习：证明在 态下， 和 的平均值等于零。
50. 练习：一维运动的粒子
51. 练习：粒子处于状态
52. 练习：求平面波的概率流密度。
2.5 势阱中粒子 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 求解定态问题的步骤
2. 设不同能级的波函数Φm和Φn，则有
3. 【补充例】 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ， 证明 。
4. 练习：设宽度为a的一维无限深势阱中运动粒子的波函数为
5. 证明一般波函数为含时间的薛定谔方程的解。
6. 练习：一维无限深方势阱的t=0时的波函数为
7. 练习：一维无限深势阱（ ）中的粒子处于状态
8. 练习：一维无限深势阱（ ）中的粒子t=0时处于状态
9. 练习： 质量为 m 的粒子，在阱宽为a的一维无限深方势阱中运动，当t=0时，粒子处于状态
10. 练习：在阱宽为L的无限深势阱中,一个粒子的状态为
11. 练习：在t=0时刻一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为
12. 练习：在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为
13. 练习：二维无限深势阱，刚体长方形（长宽分别为 、
2.6 表象理论 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 求解久期方程，可得到一组E值：E1 , E2 , ..., 就是E的本征值。把求得的E值分别代入方程组，就可以求得与每个 Ei相对应的本征矢。
2. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢。
3. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢
4. 例：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢。
5. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值及本征矢。
6. 设正交归一的本征矢
7. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值及本征矢
8. 例：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢
9. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。 （1）计算能量本征值和本征矢（2）任意时刻t的波函数是什么？(2)当任意时刻t测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
10. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。（1）计算能量本征值和本征矢（2）任意时刻t的波函数是什么？(3)当任意时刻t测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
11. 练习（1）：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。当t=0时刻测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
12. 练习（2）：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。任意时刻的波函数是什么？
13. 练习（3）：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。当任意时刻t测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
14. 练习（1）：已知哈密顿算符的矩阵形式， t=0时刻处于量子态ψ（0）。当t=0时刻测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
15. 练习：考虑一个系统的哈密顿量，在选定的一组正交归一基下的矩阵形式为：
2.7 势垒隧穿 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 作业1：质量为m的粒子在势能为
2. 作业2：质量为m的粒子在势能为
3. 作业3：如图所示，质量为m的粒子在如下势能
4. 作业4：如图所示，质量为m的粒子在如下势能
5. 作业5：频率为ω的一维谐振子从能级n =4跃迁到能级n =1。计算可能发射的谱线数目，波长最大的谱线的波长，波长最小的谱线的波长。
6. 作业6： 频率为ω的一维谐振子t=0时的波函数为
7. 求解定态问题的步骤
8. 【补充例】 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ， 证明 。
9. 求束缚态( )的能级所满足的方程(分别求出奇宇称和偶宇称解)。
10. 练习：分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为：
11. 练习：质量为m的粒子在势能为
12. 练习：求出归一化波函数。
13. 练习：分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为：写出束缚态能级满足的方程、边界条件及其解。
14. 练习：粒子在势能为
2.8 光电效应(续) — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 已知粒子能量 E, 求解定态薛定谔方程解。
2. 练习:以下哪些量子态为束缚态和散射态?
3. 练习：求平面波的概率流密度。
4. 练习：求实波函数的概率流密度。
5. 练习：粒子在势能为
6. 练习：如图所示，粒子在势能为
7. 练习：质量为m的粒子被高为 的矩形台阶势垒散射， 时入射波、反射波和透射波的波函数
2.9 谐振子 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 求解定态问题的步骤
2. 练习:证明波函数是一维谐振子定态薛定谔方程的解。
3. 练习：一个质量为m、带电q>0的粒子放在电场中，电场强度为
4. 练习： 已知一维谐振子处在第一激发态时的波函数为
5. 练习：分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度系数为k，质量是m。当此谐振子由激发态n跃迁到激发态l时，所放出的光子的波长=______。
6. 练习： 一维谐振子处在基态
7. 求：(1)势能的平均值(2)动能的平均值。
8. 练习：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的概率。
9. 设基态的经典界限的位置为 ，则有
10. 练习：求处于第一激发态的谐振子在经典界限外被发现的概率。
11. 练习：一个谐振子的波函数为 ，能级为
12. 练习：一个带电q>0的粒子放在电场中，电场强度为
13. 练习： 频率为ω的一维谐振子的t=0时的波函数为
14. 练习：一维谐振子处在基态
15. 练习：已知一个粒子在x方向做简谐振动，在y和z方向做自由运动，动量分量分别为 和 。哈密顿算符为
16. 练习：已知一个电子在均匀磁场中的哈密顿算符
17. 练习：已知一个电子在均匀磁场中的哈密顿算符为
18. 练习： 已知耦合谐振子的哈密顿算符为：
2.10 氢原子 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 作业1：已知氢原子处于外磁场B中，其哈密顿算符（不考虑自旋）为
2. 作业2：（1）计算自旋角动量分量 的本征值及本征函数。 （2）已知电子处于本征值为 的本征态。
3. 求测量自旋角动量分量 的可能值与概率及平均值。
4. 作业3：已知哈密顿算符为
5. 作业4：已知氢原子处于外磁场B中，其哈密顿算符为
6. 计算测量轨道角动量平方、轨道角动量z分量 、能量和自旋角动量z分量 的可能值、概率以及平均值。
7. 作业5：氨分子的双态模型，已知正交归一化双态波函数为 和 ，
8. 计算任意时刻波函数 。
9. 作业6：氢分子离子的双态模型，已知归一化双态波函数为 和 ，
10. 求解定态问题的步骤
11. 练习:证明波函数是氢原子定态薛定谔方程的解。能量=____。
12. 练习：氢原子的哈密顿算符可以写成
13. 练习：氢原子的能量本征方程可以写成
14. 证明一般波函数为含时间的薛定谔方程的解。
15. 练习：氢原子t=0时处于量子态
16. 已知氢原子基态能为
17. 练习： 设氢原子处于状态
18. 已知氢原子基态能为 。求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。
19. 练习：已知氢原子处于外磁场B中，其哈密顿算符为
20. 计算测量能量的可能值、概率以及平均值。
21. 计算t时刻的波函数。
22. 计算电子角向概率分布。
23. 练习：氢原子处在基态
24. 求：(1)r的平均值； (2)势能 的平均值；
25. 练习： 氢原子处于基态，求测量电子动量的概率分布。
2.11 类氢原子及微扰 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 练习：已知电子处于自旋量子态
2. 求测量自旋角动量分量 的可能值与概率
3. 练习：求 的本征值和所属的本征函数。
4. 设对应于本征值 的本征函数为
5. 练习（1）：已知哈密顿算符为
6. 求能量本征值和本征函数。
7. 练习（2）：已知哈密顿算符为
8. 计算测量能量的可能值、概率以及平均值。
9. 练习（3）：已知哈密顿算符为
10. 计算时刻t的波函数。
11. 练习：氢原子处于外磁场中，其哈密顿算符为
12. 练习：已知氢原子处于外磁场中，其哈密顿算符为
13. 计算测量轨道角动量z分量 、自旋角动量z分量 和能量的可能值、概率以及平均值。
14. 计算时刻t的归一化波函数。
15. 求测量自旋角动量分量 的平均值
16. 练习：多电子原子中，电子的排列遵循 原理和 原理。
3.1 双态系统 — 练习与例题 ← 返回知识点
1. 证明一般波函数为含时间的薛定谔方程的解。
2. 练习： 和 为另一组基函数： 和 的线性叠加
3. 练习：证明 和 为另一组基函数
4. 练习1： 和 为另一组基函数，计算矩阵元
5. 练习2： 和 为另一组基函数，计算矩阵元
6. 练习3： 和 为新基函数，计算矩阵元
7. 练习1：氨分子的双态模型，已知正交归一化双态波函数为 和 ，
8. 练习2：氨分子的双态模型，已知正交归一化双态波函数为 和 ，
9. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢。
10. 练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，求能量本征值和本征矢
11. 练习：练习：已知哈密顿算符的矩阵形式，t=0时刻处于量子态ψ（0）。 （1）计算能量本征值和本征矢（2）任意时刻t的波函数是什么？(2)当任意时刻t测量系统的能量时，可能的结果和出现概率及平均值是什么？
12. 练习：证明 和 为一组正交归一基函数
13. 练习： 和 为一组正交归一基函数
14. 练习1：氢分子离子的双态模型，已知归一化双态波函数为 和 ，
15. 练习2：氢分子离子的双态模型，已知归一化双态波函数为 和 ，
"If you are not confused by quantum physics then you haven't really understood it."
— Niels Bohr